На левој обали Западне Мораве, на седам километара од Трстеника налази се Медвеђа, по површини највеће село у општини Трстеник. Село је добило име по великој шуми која се некада простирала на овом простору у којој је живео велики број медведа. Због насељавања, шума се морала крчити па је названо „ Медвеђа шума “, а по њој је село добило име. Према писаним документима Медвеђа је постојала у 15. веку.
Прва школа у Медвеђи отворена је 1828. године и била је приватна. Налазила се на углу црквеног дворишта. Први учитељ је био Ђока Тотевић који је са Михајлом Векићем стекао писменост у Љубостињи. У школу је ишло 7 дечака богатијих сељака. Године 1834. је учитељ Тотевић затворио школу и отишао у Љубостињу. Године 1836. Кнез Милош је издао наређење о отварању школе у местима која су то желела. Школа је опет радила, а сада је учитељ био Сима, трговац из Срема, који је након трогодишњег рада затворио школу. По престанку рада приватне школе отвара се државна школа 1840. године. Већ следеће године школа је престала да се издржава из државног буџета, па се „пребацила “ на општински буџет. Школа има три разреда, а школска година почиње првог септембра завршивши се 30. јуна. Школа је радила у приватној кући Петра Вучкићевића. Због повећаног броја ученика морала се изградити нова школа, па је зато 9. јануара 1869. године Начелство јагодинског округа послало захтев министру просвете. Школа је саграђена 1872. године, а учитељ је био Атанасије Поповић. Имала је један спрат.
Почетком 20. Века школа је у Медвеђи наставила је рад као четвороразредна школа са четири одељења. По завршетку Првог светског рата неразвијени друштвено – економски односи, слаба материјална база утицали су на школу. Школске 1927/28. године школа у Медвеђи је имала 201. ученика у пет одељења. Од самог почетка школске године размишљало се о прослави стогодишњице школе. Прослава се обавила на Светог Саву 1928. године. Године 1929. је основана школа у Рујишнику. У новембру је заказана седница школских одбора о подели школског инвентара јер се школа у Рујишнику издвојила из школске општине. Одмах после прославе стогодишњице школе састао се Школски одбор и разматрао питање проширења школског простора због повећања броја ученика ове школе. Уследио је закључак да школу треба доградити. Школски одбор се обратио Окружној грађевинској секцији у Крушевцу за израду плана. План је био да се школа подигне за један спрат са четири учионице. Спрат је саграђен 1931. године.
У време Другог светског рата настава је требала да одвраћа омладину од пружања отпора непријатељу. У школи се учила историја и књижевност. До 1943. године су се користиле књиге из предратног периода, а од исте године су почеле да се штампају нове књиге. Ученици су имали обавезе везане за школу које су морали да ураде после наставе нпр. ручне радове.
После рата школа постаје осмогодишња. Уведено је обавезно школовање, а такође је и основан Дечији дом 1954. године. Ученици су са наставницима на оснивачкој скупштини 28. фебруара 1957. Године основали Ђачку задругу. Уведен је огледни врт од стране школе, а и подигнута је школска шума. Школа се пријавила на такмичење осмогодишњих школа у Србији, а пријављивање је било повод за уређивање школе и дворишта. Школа је на такмичењу освојила прво место и прву среску награду у години у којој је прослављала 130. година свог постојања и рада. Прослава се обавила 25. маја 1959. године и то је био двоструки јубилеј. Биле су организоване многе секције: шаховска, фолклорна, саобраћајна, кошаркашка и одбојкашка. Школа је 1963. године 25. маја, на Дан младости, променила име у „ Маршал Тито“, а истовремено то је био дан школе и 135. година рада школе. Проблем школе је опет био простор због прерастања у осмогодишњу. Било је јасно да се мора изградити нова школска зграда. Идејно решење за нову школу дао је бивши ученик, сада инжењер Михајло Димитрић. Школа је завршена и отворена на почетку школске 1987/88. године. Те године школа је освојила бројне награде и признања.
Наша школа је традиционално домаћин Општинског такмичења из биологије. У јануару 2021.припремили смо и успешно реализовали општинску светосавску академију под називом „Пут изведен из беспућа-Свети Сава српска кућа“ у којој су осим садашњих ученика учествовали и бивши ученици наше школе на које смо изузетно поносни.
У част Љубивоја Бајића, чије име школа данас носи, осам година је одржавано Општинско такмичење у беседништву под називом „СВЕТЛОСТ РЕЧИ – ЉУБИВОЈЕ БАЈИЋ“, а домаћин је била наша школа.
У школскoј 2023/24. години школа ће напунити 195 година постојања и рада. Као значајна институција у животу и развоју села она активно сарађује са локалном средином. Школа је носилац културног, спортског и забавног живота младих. Има богату историју уткану у развој целокупног просветног система наше земље. Трајући непуна два века образовала је много појединаца који су оставили траг као доктори, инжењери, глумци, сценаристи, просветни радници, писци или они који су свој животни век провели овде, на плодној равници поред Мораве, или побрђу Гледићких планина, као врсни калемари, виноградари, воћари.